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运算放大器稳定性分析——分析

前言

为什么极点/零点处增益变化3dB,相位变为90°?

以简单的低通RC电路为例,增益为A=Zc/(Zc+R),Aol=20lgA。

s域中定义了零极点,可见有极点,为-1/RC。

分析幅频特性w:+0->+∞的情况:

  • w=0时,|C|=1=0dB,Θ=-arctang(0)=0°
  • w=1/RC时,|C|=0.707=-10lg2(dB)=-3dB,即增益降低到0.707倍(即-3dB),Θ=-arctan1=-45°
  • w=+∞时,|C|=0=-∞dB。Θ=-arctan(+∞)=-90°

以w的10倍分析:

  • w=1/10RC,1+(wRC)^2=1.01,则|C|=0.995=-0.043dB,Θ=-arctang(0.1)=-5.7°
  • w=1/RC,1+(wRC)^2=2,则|C|=0.707=-3dB,Θ=-arctang(1)=-45°
  • w=10/RC,1+(wRC)^2=101,则|C|=0.0995=-20dB,Θ=-arctang(10)=84.3°
  • w=100/RC,1+(wRC)^2=10001,则|C|=0.00995=-40dB,Θ=-arctang(100)=89.4°
  • w=1000/RC,1+(wRC)^2=1000001,则|C|=0.000995=-60dB,Θ=-arctang(1000)=89.9°

由上可知,在极点处前后10倍频,幅度降低3dB,相位变化为前后约45°。从相位上看,由于相位纵坐标为度数,所以前10倍频(0.1)平台开始降低45°,到达极点,继续往45°的趋势下降,直到下降了45°后不再下降,变为平台。在进入平台前,遇到零极点,则交点处开始下降45°,直到零极点,然后往45°趋势走,重复上步骤。

对于简单的RC低通电路,来说初始情况下,输出与输入相位相同,起始相位为0°;对于RC高通电路,由于电容作用,起始相位反相为180°。

对于正向放大电路,输出与输入同相,起始相位为0°;对于反向放大电路,输出与输入反相,起始相位为180°。

由于H(jw)=H(s),计算出的极点刚好与截止频率处一样(截止频率为1/2piRC)。

高通RC电路,则是极点为1/RC,截止频率也是,但是相位变化相反。

故可以通过BODE图(幅频特性),结合幅度变化、相位变化得到极点和零点。

根据控制系统原理,反馈回路可以等效为以下模型。

A为开环增益,F为反馈增益。求得闭环增益为(假定为负反馈):

当AF=-1时,闭环增益无穷大,系统振荡。

可知,闭环增益≤开环增益。

对于运放来说,运放增益为Aol,反馈增益为β,则公式变为:

环路增益(开环增益)为Aolβ。当Aolβ=1,相位反相时,系统振荡。此时20lg(Aolβ)=0dB,相位变化180°。

当Aol极大(>10,即20dB)时,Acl≈1/β。

运放的增益与频率成反比关系,频率越高增益越低12,它们之间的关系是运放的增益带宽积GBP3

运放的增益在低频时几乎为常数,穿越-3dB后为增益带宽积。

根据Nyquist判据,闭环传递函数、开环传递函数为:

对于运放来说:G(s)=Aol,H(s)=β,则F(s)=1+Aolβ。其中H(s)为反馈环增益。

Aol为运放本身的增益,可以通过芯片手册上的开环增益曲线估算其Aol(s),β为反馈增益即输出反馈给输入的信号增益。

以简单的反相放大电路为例,如下图所示。

上图中,1/β做了近似,实际1/β应该为:

由于RF、RI均为正数,故1/β最小为1。假如RF和RI中存在电容,则在BODE图中表现为1/β曲线最小接近0dB,且为正数。

举例,某运放的Aol截止频率为1.59Hz,低频增益为59.03dB=900534倍,1/β=-(1+RF/RI)=-1001,因反相端所以为负号。则开环传递函数为:

使用TI-TINA仿真,结果如下图所示,将其与Matlab仿真结果(程序文件见4)放一起对比。

在10k电阻上并联1uF电容,再次仿真,如下图所示。

开环传递函数为:

有两个极点,均为负数,系统稳定。观察Nyquist5曲线,如下图所示。

顺时针绕(-1,j0)一圈,故Z=P-2N=2-2*1=0(Z为零点,P为极点,N表示顺时针包围-1的半圈数),图上左为整圈有镜像。可见系统稳定。

但是根据TI资料,观察Aol与1/β的ROC(闭合速率),应该是不稳定,如下图所示。

ROC(Aol-1/β)=40dB/Decade,为不稳定。

结论矛盾?

观察Aolβ的相位,可见在增益为0dB时,相位裕度只有6.6°,增益裕度为74dB,两者定义见下图。可见相位裕度很低(<45°),容易导致系统进入不稳定状态。

对于小信号的放大,一般认为在引入深度负反馈的情况下,在整个信号带宽内运放环路稳定,则电路设计没有问题。
对于Aolβ要求在相位为-180时,对应的|Aolβ|<1,其伯德图需要满足一定的增益和相位余量(>45度),见上图。
实际一般需要根据开环增益曲线Aol(由供应商的数据手册提供)和1/β增益曲线
(即噪声增益曲线,取决于反馈环路的设计)的交点判断,该交点决定了所能放大信号带宽,即闭环带宽fcl。

上例中闭环带宽为154.49Hz。

使用脉冲信号进行仿真脉冲响应,结果如下图所示。

可见,系统在启动时会出现阻尼振荡。

因为BODE图(幅频、相位曲线)获取的关于稳定性的判断是相对稳定性,而不是绝对稳定性,Nyquist判据得出的为绝对稳定性。也可以说BODE的不稳定Nyquist可能为稳定,BODE的稳定Nyquist一定是稳定,即BODE图的判断条件范围小于Nyquist。换句话说就是,将BODE图判断不稳定的系统更改为稳定系统,则更改后系统一定稳定。

至此,可以使用BODE图来修正不稳定系统。

环路增益测试

常用的放大电路即为单端输入,上例即使如此。

测试系统稳定性时,只需将环路断开(断开反馈环路即可),变为开环系统,然后输入激励,获取Aol和1/β曲线。如下图所示。

左边,断开输出到反馈的节点;右边断开反馈到输入的节点。环路增益均为:Aolβ=Vy/Vx。

  • 左边:Aol=Vy/VFB,1/β=Vx/VFB
  • 右边:Aol=Vout/Vx,1/β=Vout/Vy

用上例的电路6分别做两种环路增益仿真,如下图所示。

可见,仿真结果一样。

不加电容补偿时,1/β为直线,电容增加了β极点(1/β零点),BODE图上表现为1/β上翘。

由于Aol为运放固有特性,所以其一直不变,只需要观察1/β曲线即可。对于复杂的电路来说,反馈环路复杂,零极点很多。需要在Aol与1/β交点(Aolβ=0dB,fcl处,闭环穿越频率点)前将1/β拉直。

Reference